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CONJUNTOS DE NUMEROS REALES

Número real, cualquier número racional o irracional. Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.

El conjunto de los números reales

Número Naturales (N): números con los que contamos (también se les llama enteros positivos.)

Enteros (E): conjunto de todos los números naturales con sus opuestos (negativos) y el cero. .

Racionales: conjunto formado por todos los números que se pueden escribir en la forma , donde m y n son enteros .

Número Reales (R): todos los racionales y los irracionales. Los números racionales tienen representaciones decimales repetitivas (periódicas), en tanto que los irracionales tienen representaciones no repetitivas infinitas.

Representación geométrica

Se pueden representar sobre una recta del siguiente modo: a uno de los puntos de la recta se le asocia el cero, 0. Se toma hacia la derecha otro punto al que se asocia el 1. La distancia del 0 al 1 se denomina segmento unidad y con ella se representan todos los números enteros.

0

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

Unidad (u)

Los restantes números reales (racionales o irracionales) se sitúan sobre la recta, bien valiéndose de construcciones geométricas exactas, bien mediante aproximaciones decimales. Es importante el hecho de que a cada punto de la recta le corresponde un número real y que cada número real tiene su lugar en la recta (correspondencia biunívoca). Por eso a la recta graduada de tal manera se la denomina recta real.

Definición:

Al igual que en los conjuntos N, Z y Q, en los números reales R utilizaremos la recta numérica y los signos >, <, ", " e = para establecer las relaciones de orden entre dos números dados. En estos conjuntos, los números situados a la derecha son mayores que los situados a la izquierda.

Relaciones ", " en R.

Consideremos los números reales "3 y "2. Para compararlos hacemos aproximaciones racionales de las raíces.

"3 " 1,732 y "2 " 1,414

1,732 > 1,414

"3 > "2

Al generalizar dos números reales a y b, decimos que a < b si b está mas a la derecha que a en la recta real.

Si a < b, entonces b - a > 0

Los intervalos en R se definen como los intervalos en Q.

Para expresar los intervalos abiertos es suficiente el signo < (menor qué), pero para expresar los intervalos cerrados, se necesita el signo " (menor o igual qué)

Intervalo abierto (a,b)

Adición y Multiplicación de Números Reales

Sobre el conjunto  $\QTR{Bbb}{R}$ de los números reales tenemos definidas dos operaciones, la adición y la multiplicación que asignan a cada par  $x,y$ de números reales su suma  $x+y$ y su producto  $x\cdot y$ (que escribiremos abreviadamente como  $xy$) de tal manera que se cumplen las siguientes propiedades básicas:

P.1

$\QTR{Bbb}{R}$ es cerrado para la adición y la multiplicación. Es decir, si  $x$ y  $y$ son números reales, entonces  $x+y$ y  $xy$ son también números reales.

P.2

La adición y la multiplicación en  $\QTR{Bbb}{R}$ son conmutativas. Es decir, si  $x$ y  $y$ son números reales, entonces

MATH

P.3

La adición y la multiplicación en  $\QTR{Bbb}{R}$ son asociativas. Es decir, si  $x,y$ y  $z$ son números reales, entonces

MATH

P.4

La multiplicación es distributiva, a izquierda y a derecha, con respecto a la adición en  $\QTR{Bbb}{R}.$ Es decir, si  $x,y$ y  $z$ son números reales, entonces

MATH

P.5

Existen identidades para la adición y la multiplicación en  $\QTR{Bbb}{R}$. Es decir, existen dos números reales diferentes que representamos por  $0$ y  $1$, tales que para todo número real  $x$ se tiene

MATH

P.6

Existen inversos para la adición de números reales y para la multiplicación de números reales diferentes de cero. Es decir,

Para todo número real  $x$, existe un número real que representamos por  $-x$, tal que

MATH

Para todo número real  $x\neq 0$, existe un número real que representamos por  $\dfrac{1}{x}$, tal que

MATH

El número  $-x$ se llama el inverso aditivo de  $x$ o el opuesto de  $x$. El número  $\dfrac{1}{x}$ se llama el inverso multiplicativo de  $x$ o el recíproco de  $x$.

Dados los números reales  $x,y$ y  $z$, la propiedad asociativa de la adición nos dice que  $x+(y+z)=(x+y)+z$. Esto nos lleva a definir sin ambigüedades el símbolo  $x+y+z$ como el resultado común de estas expresiones. Similarmente, si  $x,y,z$ y $w$ son números reales, por repetidas aplicaciones de la propiedad asociativa de la adición podemos comprobar que los números

MATH

son todos iguales y definir  $x+y+z+w$ como el resultado común de estas expresiones. En general, si tenemos una colección finita  MATH de números reales, todas las formas posibles en que los asociemos para sumarlos producen el mismo resultado y podemos definir  MATH como este resultado común.

También, dada una suma  MATH de  $n$ números reales, la propiedad conmutativa de la adición nos permite cambiar arbitrariamente el orden de los sumandos.

Obviamente, podemos hacer consideraciones similares para la multiplicación de números reales.

Ejemplo 1.1. En la siguiente lista se ilustran algunas de las propiedades de la adición y multiplicación de números reales. Todas las letras representan números reales.

$5+0=5$Existencia de identidad para la adición.

$2r+7s=7s+2r$Conmutatividad de la adición.

MATHExistencia de inversos multiplicativos.

MATHPropiedad distributiva.

$\pi +(-\pi )=0$Existencia de inversos aditivos.

MATHExistencia de identidad para la multiplicación.

MATHAsociatividad de la adición.

MATHConmutatividad de la multiplicación.

MATH si  $3x+5\neq 0$ Existencia de inversos multiplicativos.

MATHAsociatividad de la multiplicación.

Propiedades De la Adición EnPropiedad

conmutativa: si se altera el orden de los sumandos, no cambia el resultado:

a+b=b+a.

propiedad asociativa:

propiedad que establece que cuando se suman tres o más números reales, la suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento.2 un ejemplo es:

a+(b+c) = (a+b)+c.

elemento neutro:

0. para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a.

elemento opuesto o inverso aditivo:

para cualquier número entero, racional, real o complejo a, existe un número −a tal que a + (−a) = (−a) + a = 0. este número −a se denomina elemento opuesto, y es único para cada a. no existe en algunos conjuntos, como el de los números naturales.

propiedad distributiva:

la suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número. por ejemplo,

(6+3) * 4 = 6*4 + 3*4.

propiedad de cerradura:

cuando se suman números naturales el resultado es siempre un número natural. por ejemplo a+b=c.

estas propiedades pueden no cumplirse en casos del límite de sumas parciales cuando tienden al infinito.

y así damos por terminado este paso de las propiedades de la adicion en los numeros reales... Los Números Reales

Multiplicación de números reales

La regla de los signos del producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con los números reales.

regla de los signos

Propiedades

1.Interna:

El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

a · b Pertenece Erre

2.Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

(e · pi ) · letra griega = e · (pi ·letra griega )

3.Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

a · b = b · a

raíces

4. Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

a ·1 = a

pi · 1 = pi

5. Elemento inverso:

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

inverso

inverso

6.Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

pi · (e + letra griega ) = pi · e + pi · letra griega

7.Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

pi · e +pi · letra griega = pi · (e + letra griega)

División de números reales



La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor.

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