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Keren Mazzilli Alean 9-04

Números complejos.

Un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario.

Ejemplos:

1 + i

12 - 3.1i

-0.85 - 2i

π + πi

√2 + i/2

 

 

Números imaginarios puros:

Los números imaginarios puros son los que no tienen parte real.

Por ejemplo:

Z = a + bi es un numero complejo donde a es la parte real, pero un número de la forma.
Z' = bi es un imaginario puro.

Ejemplos:
i
2i
-4i

Números complejos en forma binómica

Al número a + bi  le llamamos número complejo en forma binómica.

 El número a es la parte real del número complejo.

El número b es la parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que  a + 0i = a.

Si a = 0 el número complejo se reduce a bi, y se dice que es un número imaginario puro.

El conjunto de todos números complejos se designa por.C

Los números complejos a + bi y -a -bi se llaman opuestos.

Los números complejos z= a + bi y z = a − bi se llaman conjugados.

Dos números complejos son iguales cuando tienen la misma componente real y la misma componente imaginaria.

Expresión de un complejo como pareja ordenada.

Para escribir números complejos en parejas, ordenado significa escribirlos en un paréntesis, separados por un punto y coma:
(a; b) ------->la primera componente es la real y la segunda es la imaginaria
(2; 5)
(-1/2; 8)
(3/5; -5/6)

Conjugado de un complejo.

Conjugado de un número complejo es el número complejo que se obtiene por simetría del dado respecto del eje de abscisas.

 

Representando el número complejo a + bi  y haciendo la correspondiente simetría, se tiene que su conjugado es a - bi .

 

Dado un número complejo, su conjugado puede representarse poniendo encima del mismo una línea horizontal. Así se escribirá:

                                    

Representación gráfica.

Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.

El eje X se llama eje real.

El eje Y se llama eje imaginario.

El número complejo a + bi se representa:

1         Por el punto (a, b), que se llama su afijo.

 

2         Mediante un vector de origen (0, 0) y extremo (a, b).

3         Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, X.

Los afijos de los números imaginarios se sitúan sobre el eje imaginario, Y.

 

Operaciones con complejo.

Suma y diferencia de números complejos

La suma y resta de números complejos se hace sumando y restando las partes reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

Ejemplo:

(5 + 2i) + (− 8 + 3i) − (4 − 2i) =

= (5 − 8 − 4) + (2 + 3 + 2) i = −7 + 7i.

Multiplicación de números complejos

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

Ejemplo:

(5 + 2 i) · (2 − 3 i) =

= 10 − 15i + 4i − 6i2 = 10 − 11i + 6 = 16 − 11i

División de números complejos

El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado este