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Tema: Numeros Irracionales

El concepto de números irracionales proviene de la Escuela Pitagórica, que descubrió la existencia de números irracionales, es decir que no eran enteros ni racionales como fracciones. Esta escuela, los llamó en primer lugar números inconmensurables. Estos números pueden haber sido descubiertos al tratar de resolver la longitud de un cuadrado según el Teorema de Pitágoras, siendo el resultado el número

2√, o raíz cuadrada de dos, el ejemplo de números irracionales más claro e inmediato, cuya respuesta a su vez posee infinitas cifras decimales que al no poder ser fraccionado, fue llamado irracional, en el sentido de no poder escribirlo como una ración o varias raciones o fracciones.

Podrías intentar encontrar la respuesta en una calculadora, y según el número de decimales con la cual la tengas programada, obtendrás algunos resultados: 1.4142135 esta es la respuesta de √2 con siete decimales, pero la cifra se irá alargando pues tiene infinitos decimales. De esta manera podemos definir a los números irracionales como un decimal infinito no periódico, es decir que cualquier representación de un número irracional, solo es una aproximación en números racionales.

Propiedades de los números irracionales

Además de ser un número infinito decimal no periódico, los números irracionales tienen otras propiedades como:

Propiedad conmutativa: en la suma y la multiplicación se cumple la propiedad conmutativa según la cual el orden de los factores no altera el resultado, por ejemplo, π+ϕ = ϕ+π; así como en la multiplicación, π×ϕ =ϕ×π.

Propiedad asociativa: donde la distribución y agrupación de los números da como resultado el mismo número, de manera independiente a su agrupación, siendo (ϕ+π)+e=ϕ+ (π+e); y de la misma manera con la multiplicación, (ϕ×π) ×e=ϕ× (π×e).

Propiedad cerrada: es decir que el resultado de la suma, resta, multiplicación, división o potenciación de un número irracional, siempre será un número irracional. Sin embargo la propiedad cerrada no se cumple en el caso de la radicación.

Elemento opuesto: existe un inverso aditivo, para la suma de números irracionales, es decir que para cada número tiene su negativo que lo anula, por ejemplo π-π=0 y de la misma forma un inverso multiplicativo que da como resultado 1, es decir ϕ×1/ϕ =1.

La multiplicación es distributiva en relación a la suma y a la resta. Ejemplo: (3+2) π =3π+2π=5π

Números irracionales famosos

Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los primeros son estos:

3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...)

El número e (el número de Euler) es otro número irracional famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:

2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...)

La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos son:

1.61803398874989484820... (y más...)

Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son irracionales. Ejemplos:

√3

1.7320508075688772935274463415059 (etc)

√99

9.9498743710661995473447982100121 (etc)

Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son irracionales.

Potenciación De Irracionales

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrad'o o el 3, que le corresponde al cubo

Ejemplo: Que se logra al elevar el factor a la potencia de la raíz a la vez que se sustrae la raíz del índice correspondiente, logrando así que el número no se altere al momento de realizar la operación de los números irracionales, aquí ofrecemos un ejemplo:

xx√3=

Primero se introduce y se eleva a la potencia de la raíz como a continuación:

(x2)3−−−−−√3×x√3=

En este caso podemos aplicar la propiedad asociativa, quedando nuestra ecuación de la siguiente manera:

(x2)3×x−−−−−−−−−√3

Luego aplicamos la operación llamada potencia de potencia, que al multiplicar los potenciales entre sí, nos permite simplificar el paréntesis así:

xx−−−−−√3

Finalmente realizamos la operación del producto de ambas potencias, sumando los potenciales de cada número, lo cual nos queda:

x7−−√3

Radicacion De Irracionales

La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando.

Cesar Rodriguez Y Luis IbarraEditar

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