Los números reales
Los números reales son un conjunto de números naturales, cardinales, enteros, racionales e irracionales, son los números que se puede escribir con anotación decimal, incluyendo aquellos que necesitan una expansión decimal infinita. El conjunto de los números reales contiene todos los números enteros, positivos y negativos; todas las fracciones; y todos los números irracionales, aquellos cuyos desarrollos en decimales nunca se repiten.es decir, el conjunto de los Números Reales (R) está formado por los elementos del conjunto Q unido con I .
Abajo un cuadro explicativo:
Según lo anterior podemos decir lo siguiente:
- La unión de los racionales y los irracionales forma el conjunto de los números reales: R= QuI.
- El conjunto de los reales, con el orden inducido por el orden ya visto en N, Z Y Q es un conjunto totalmente ordenado.
- Teniendo eso en cuenta, se puede representar gráficamente el conjunto de los reales con una recta, en la que cada punto representa un número.
- Muchas de las propiedades que hemos visto para los conjuntos Q e I son heredadas por R.
- Como ya se ha visto, Q es denso en R. También I es denso en R.
- Podemos considerar R como el conjunto de todos los límites de sucesiones cuyos términos son números racionales..
Los números reales en la recta numérica
La representación de los números reales en la recta numérica se le llama: recta numérica real o recta de coordenadas.Es una representación geométrica del conjunto de los números reales . Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real. Se usa el símbolo (R) para este conjunto.
Se construye como sigue: se escoge de manera arbitraria un punto de una línea recta para que represente el cero.Se elige un punto a una distancia adecuada a la derecha del origen para que represente al número 1. Esto establece la escala de la recta numérica.
Ejemplo:
Operación en los números reales
En los números reales se efectúan las siguientes operaciones:
Suma en números reales
Para sumar los números reales se puede hacer de dos formas.
Suma de números del mismo signo (Positivos y Negativos)
Para sumar números del mismo signo tenemos que sumar sus valores absolutos y colocamos el mismo signo común antes de la suma.
La suma de dos números positivos será un número positivo, y la suma de dos números negativos será un número negativo.
Ejemplo:
-7 + (-14)
Solución: como ambos números que se suman son negativos, la suma será negativa, Para determinar la suma, sume los valores absolutos de estos números y coloque un signo negativo antes del valor.
(-3)=3 (-2)=2
Ahora se suman los valores absolutos.
(-7) + (-9) =7 + 9 = 16
Como ambos números son negativos, la suma debe ser negativa, asi.
-7 + (-9) = 16
Para sumar dos números de diferentes signos (positivos con negativos)
La suma de un numero positivo y uno negativo puede ser positiva, negativa o
Cero. El signo del numero con mayor valor absoluto es el mismo sigo que tendrá el resultado de la suma.
Ejemplo:
5 + (-4)
Solución: Como los números que se suman son de distintos signos, vamos a rectar el valor absoluto más pequeño del valor absoluto mayor. Primero tomamos cada valor absoluto.
5 = 5 (-4) = 4
Ahora tenemos que determinar la diferencia, 5 – 4 = 1. El número 5 tiene el mayor valor absoluto y por eso se determina que el resultado de esta suma deber ser positivo.
5 + (-4) = 1
Restas en los números reales
Todo ejercicio de sustracción se puede expresar como un ejercicio de suma teniendo en cuenta lo siguiente:
a – b = a +(-b)
Para restar b de a buscamos el inverso.
Ejemplo:
5 – 9 significa 5 (+9). Para rectar 5 – 9 sumen el opuesto de + 9 que es -8, a 5.
5 – 9 = 5 + (-9) = -4.
Multiplicación en los números reales
Para multiplicar números con el mismo signo sean positivo con positivo y negativo con negativo tenemos que multiplicar sus valores absolutos. La respuesta debe ser positiva.
Para multiplicar números con el signo diferente un positivo con un negativo debemos multiplicar sus valores absolutos. El resultado debe ser negativo.
Ejemplo:
División en los números reales
Para dividir dos números con signos iguales debemos dividir sus valores absolutos el resultado debe ser positivo.
Para dividir dos números con diferentes signos debemos dividir sus valores absolutos el resultado debe ser negativo.
Propiedades de los números reales
Elaborado Por: Alain Ahumada-Juan Vargas.
Curso:907
Colegio: Marco Fidel Suarez
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